(4维度20视角68观察点)

课堂观察框架示意图

——《江苏教育》（教学版）2011第12期“专题”

主持人：海安县实验小学   许卫兵

◆主持人语

由“双基”走向“四基”是数学课程标准修订中的一项重大变化。在“四基”中，“基础知识”“基本技能”和“基本思想”我们比较熟悉且各自都有着较为明确的界定，而“基本活动经验”虽然我们也常挂在口头，但很多一线教师并不能说清楚它的涵义，甚至于专家们的意见也不统一，能有意识地围绕这一目标设计教学过程、组织教学活动的成功经验更少。

那“什么是基本活动经验？”“为什么要提出基本活动经验的课程目标？”“基本活动经验是怎样形成的？”“如何帮助学生积累基本活动经验？”“基本活动经验对于儿童数学素养提升的意义是什么？”对这些本原性问题是否有清晰的认识，将会深刻地影响着我们教学实践行为，决定着我们能否有效落实课程标准修订稿中提出的帮助学生积累“基本活动经验”的重要目标。

为此，我们专题策划了这次研讨，让我们共同走近专家、学者和一线同仁，听一听他们关于基本活动经验的内涵界定、现状审视、价值追寻、实践探索等方面的研究与反思，期望能引起大家的共鸣！

◆ 正   文

1 ．基本活动经验：羞答答的玫瑰红艳艳地开（许卫兵）

2 ．数学教学中如何体现积累活动经验目标（马云鹏）

3 ．对“基本活动经验”内涵与形成的思考（刘加霞）

4 ．关于获得数学活动经验的三点认识 （贲友林）

5 ．基本活动经验实践研究的辩证解读 （储冬生）

6 ．让“活动”带给“经验”生长的力量（仲海峰）

7 ．帮助学生积累怎样的基本活动经验

——以“分数的认识”教学为例 （仲广群）

001 基本活动经验：羞答答的玫瑰红艳艳地开

▇ 许卫兵

新一轮基础教育课程改革历经十年后正进入“再出发”阶段。个人以为，“再出发”的重要标志当属课程标准修订稿的出台。无论是理念更新，还是内容调整，各学科课程标准修订稿中出现的若干变化毫无疑问将会成为今后一段时期课程发展、教材调整、教学改革、教师研修中关注的重点。

义务教育数学课程标准修订后，强调在注重数学“基础知识”和“基本技能”的同时，发展数学“基本思想”，积累“基本活动经验”。“这是数学教育目标现代演变的一个主要标志”（张天孝）。如何界定新增两个“基本”之一的“基本活动经验”？有专家认为，“意指在数学目标的指引下，通过对具体事物进行实际的操作、考察和思考，从感性向理性飞跃所积淀下来的认识”；也有专家认为，“数学活动经验，专指对具体、形象的事物进行具体操作所获得的经验，以区别于广义的数学思维所获得的经验”；还有人认为，“数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识”。诸多的说法虽有差异，但其目标方向是一致的，那就是，在数学教育教学中要高度重视数学活动以及学生在活动中所积累的活动经验。

其实，经验之于教育、之于学习、之于学生成长的重要性是显然的。杜威在其《民主主义与教育》中说，教育是一种生长，生长的具体过程和内在机制可以概括地表述为“经验的改组或改造”，这个过程不是一个通过灌输实现的被动过程，而是在个人积极主动地参与共同生活的过程中能动地实现的。金生鈜教授在《理解与教育》中谈及，“课程就是学生经验增长，意义建构和精神发展的基础。课程在进行的过程中，为学生展开了一个丰富的生活世界，学生在其中自由想象、创造、学习、理解、交流、游戏、活动等等。伴随着课程的运行，学生的经验不断得到增长，学生的精神不断地扩展和升华。”哲学博士殷鼎在《理解的命运》中更是将之提升到生命成长的高度：“经验对人生有一种持久的意义，它不仅通过记忆和体验保存下来人生的价值和意义，也随着记忆进入人对生活的理解，随时影响各人对人生的认识。”然而，由于经验具有内隐性、个体性，并处在流动之中、变化之中和更新之中，我们似乎总是很难将其“看得清清楚楚，说得明明白白”，尤其是数学活动中的经验，带有很大的情境性、实践性，这也就让她始终像那“羞答答的玫瑰”，暗香袭来时才吸引人关注她的绽放。

应该说，数学学科本身就是以经验为基础不断发展与完善的，因此，学生的数学学习也应该从现实经验中抽象出数学概念和结构，这一过程既是基于学生已有的经验又是对数学活动经验的不断改组与完善。有效的数学学习必定是在新问题情境下运用已有的知识经验来成功处理新信息、新问题的活动，并以学生领悟经验、反思经验、改造经验、丰富经验为目的。学生数学活动经验对于数学活动的顺利探究、数学思想方法的领悟、学生数学观念的形成、创新能力的培养以及人的全面发展等均有着十分重要的作用。从这一角度来看，在教学中着力帮助学生积累数学基本活动经验，不仅对儿童数学学习具有方法论的指导意义，也具有超学科的引领价值。

毋庸置疑，基本活动经验这朵“羞答答的玫瑰”在数学课程改革迈入“后课标时代”之际，不应再是“静悄悄地开”，而要开得鲜明，开得热烈，开得奔放，犹如山丹丹花开红艳艳。这样的“红艳艳”将迎来数学课程改革“再出发”的又一个明媚春天。

（作者单位：江苏省海安县实验小学）

002 数学教学中如何体现积累活动经验目标

▇ 马云鹏

在数学教学中使学生逐步积累活动经验成为数学教育工作者越来越关心的问题。2001年开始实施的数学课程标准实验稿，在课程目标中已经提到数学活动经验的问题，即将公布的数学课程标准修订稿更把基本活动经验与数学的基础知识、基本技能、基本思想并称为“四基”，作为义务教育阶段数学课程的重要目标。可见，基本活动经验在数学课程与教学中的重要性。而对于第一线教师来说基本活动经验又显得陌生，教学中如何体现学生活动经验更觉得无从下手。对于数学活动经验的培养问题特别需要理论工作者和第一线教师共同探讨和研究。非常高兴地看到有许多第一线教师已经在实践中对这个问题进行了探索，积累了相关的教学经验，为我们提供进一步研究和思考问题的空间和话题。对于如何在教学中体现数学活动经验问题我没有深入地研究，只能谈谈个人的看法。

先看一个例子：

下表是某市一周之内最高气温，请将表中的信息绘制折线统计图。

这是小学数学中常见的问题，要求学生运用统计图的知识与方法表示数据。

如果把这个问题改编一下，变成“记录一周之内每一天的气温，再提出相关的问题，并在班上讨论”。这两个问题的区别一目了然，对学生的要求有很大的不同。下面试从积累活动经验的角度做一些分析。

首先，活动经验积累要有活动，要注重过程。这里所说的活动，不是一般意义上的教学和解题活动，而是需要学生参与其中的数学探索活动，是在具体的问题情境中“做”数学的活动。一般来说，这种活动不是解决现成的数学问题，不是简单的对一个问题寻找答案的过程。前面的例子中第一个问题只是在解决一个问题，学生是在运用有关的知识和技能，可以达到知识技能的理解和巩固的作用。而改编后的问题，需要学生亲自搜集真实的数据，再把数据按恰当的方式记录和整理出来，从中找出有价值的信息，提出有意义的问题。这需要一个过程，在这个过程中，学生要用到数学的知识技能，更要根据各种实际情况做一些具体的事情，在这个做的过程中学生有了体验和经历。不同的学生可能用不同的方式方法，呈现出不同的样态，他们的经历也有所不同。

第二，活动经验要在不断做的过程中积累。“积累”在这里是关键，不能指望有一两次这样的活动学生就有数学活动经验，要在教学过程中不断地为学生提供这样的机会。如果学生在学习不同内容的时候，都有机会做这样的活动，就会不断地积累相关的经验。这样的活动可以是在课内，也可以是课内与课外相结合；可以是独立完成，也可以合作解决。在数学课程的四个领域里都有机会为学生提供这样的活动。“综合与实践”领域更是学生积累活动经验的很好的载体。

第三，活动经验所达到的是过程性目标，不能用常规的方式评价。一般来说，常规的纸笔测验更适合于考查知识与技能的掌握情况，对活动经验的考察不能简单地用解决常规问题的方式进行。上面的第一个问题是在测试中运用的，而第二个改编后的问题，就需要采用活动记录，课堂交流，小型调查报告等方式。重点在于考查学生的参与状况与学习过程，同时还要综合考虑不同学段学生的能力水平。

以上只是对活动经验问题的一点思考，难免挂一漏万。希望能引起老师们的讨论，并提供更加鲜活的教学案例，使这个问题有更深入的研究。

（作者单位：东北师范大学教育科学学院）

003 对“基本活动经验”内涵与形成的思考

▇ 刘加霞

积累“基本活动经验”是修订后的数学课程标准中提出的一个新学习目标。为什么提出该目标？什么是数学的“基本活动经验”？在日常教学与学生的日常生活中如何让学生积累基本活动经验？这些问题都亟待思考与解决，结合具体的教学案例分析数学基本活动经验的内涵、性质以及探讨如何积累数学活动经验，是研究“基本活动经验”的重要途径。

一、积累“案例”，丰富对“基本活动经验”的感性认识

积累并分析日常生活和教学中的案例，是了解数学基本活动经验的重要途径，只有在丰富的案例中才能看到数学基本活动经验的“血肉”。

先看日常生活中的一个例子：“应该是52秒09，不应该是51秒 69”

笔者的女儿在小学三年级时参加北京市“育英杯”游泳比赛（ 50米蛙泳），参加这次比赛她应该取得好成绩（平时训练时成绩就很好）。但由于入水后她想看看自己是否犯规，就停顿、然后向后张望了几下。正是由于这“几下张望”，她只获得了第七名，成绩是51秒69。对此，她“耿耿于怀”，比赛一结束就说“妈妈，发奖肯定是发前十名的”。但我只能遗憾地告诉她“体育比赛获奖名次只取前六名”，她很难过。隔了一天，她又说起了游泳比赛，对我说：“妈妈，他们肯定是弄错了，我的成绩应该是52秒09，不应该是51秒69啊？”

一听到这个问题，我高兴地说：“宝贝，你提出的这个问题比你得第一名还让我高兴。是啊，怎么不是52秒09呢？我们问一问、查一查吧！”

接下来我们打电话问游泳教练这个问题，教练说：“秒和毫秒之间肯定不是60进制，毫秒表只取到99，但不应该是99进制吧，可能是1秒=100毫秒吧”游泳教练没有给出明确答案。

后来我俩又一起上网查找，原来1秒=1000毫秒，“秒”后面相邻两个时间单位之间的进率都是1000，甚至有这么小的时间单位：1秒=1000000000000000 飞秒，我感到非常震惊，当然女儿的体验不像我这么强烈。

从数学活动经验积累的角度看，我和女儿的上述经历是否为我们积累了一定的经验？在积累数学活动经验时经历了哪些活动过程或思考过程甚至情感体验过程？我们两人的体验程度一样吗？

再看教学中的案例：到底搬了多少块砖？

北京小学高丽杰老师曾经执教过一节“巧用乘法”的拓展训练课，在教学中高老师设计了如下几个活动：

（图略）

设计这些活动的价值是什么？在解决这些问题时学生积累了哪些数学活动经验？学生解决这些问题时并没有亲身参与动手操作，也能积累数学活动经验吗？

到底什么是数学活动经验？数学基础知识、基本技能以及基本思想还具有一定的“客观性”，而数学活动经验的“主观性”更强，涉及个人的感受、感悟，具有典型的“个体性”“内隐性”特征。因此真正说清楚什么是“数学活动经验”有一定难度，但数学活动经验对个体的数学学习又起着至关重要的作用，我们又必须说一说，必须结合教学实践谈一谈。

  二、追问概念的内涵，提升对数学“基本活动经验”的理性认识

（一）数学“基本活动经验”是什么

显然理解数学“基本活动经验”的内涵与性质要了解两个核心概念：什么是“经验”？什么是“数学活动”？

经验属于哲学范畴的概念，从柏拉图、亚里斯多德时代一直到18世纪末19世纪初欧洲哲学的启蒙时代，哲学家们一直都在研究“经验”。前者将“经验”与“理性”相对立，认为经验纯粹出自实践与行动，而理性则与此无关。后者则将理性知识建立在感觉经验基础之上，使经验具有了理智的含义与认知的含义。

近代强调经验在教育中的巨大作用的首推人物是美国著名哲学家教育学家约翰·杜威，他对教育与经验的看法影响我们对经验的认识。杜威认为：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”他认为经验有两重含义，一是经验的事物，另一是经验的过程，强调经验是人与环境主动的交互作用的过程，这一过程融合了情感、意志、思维、实验等理性和非理性因素。因此经验一是由实践得来的知识或技能，二是经历、体验，是一种缄默知识。

其实从“经验”的英文单词“experience”可以看出，谈“经验”一定要强调“过程”，因为“experience”本身还有“经历”的意思，离开“过程”也就不存在“经验”。在实际教学中，上述两重内涵密不可分，不存在独立于知识、技能的数学活动经验，经验的积累就是在获得这些基本知识技能培养数学能力的过程中积淀下来的体验和感受。而这两重意义的获得具体落实在“数学活动”中，那么，有哪些数学活动？

数学活动的内涵非常丰富，从操作与数学认知的层面看，数学活动主要包含如下几方面:数学的实验操作活动、算法规则的操作练习活动、数学的思维活动，以及关于数学的交流活动。张奠宙先生则认为基本的数学活动还应该包括“模式直观”“解题经历”“数学想象力”“数学美学欣赏”等。

因此，数学活动经验就是学生在经历上述数学活动过程中获得的对于数学的体验和认知。与数学概念、技能等显性知识相比较，数学活动经验是一种缄默知识。它包含了对数学的情感、态度、价值观以及对数学美的体验，也包含了渗透于活动行为中的数学思考、数学观念、数学精神等，还包含处理数学对象的成功思维方法、方式等。

由上述分析可以看出，提出数学活动经验为目标的根本意图还是强调教育的“过程性目标”而不仅仅是“结果性目标”。因为“思想感悟与经验积累决定人的思维方法”，而思想感悟与经验积累是“悟出来的，想出来的，而不是教会的”。

（二）数学“基本活动经验” 是怎样形成的

美国学者科尔比认为：经验获得至少要经过：具体经验、反思性观察、抽象概括、主动实践这四个阶段，并在这四个阶段的循环过程完成。

20 世纪上半叶，戴尔提出了“经验之塔”理论，并在20世纪60年代末进一步完善了该理论。他认为经验就是学习的途径，一切学习应“从经验中学习”，最好是从直接参与的动作性经验学习开始，以获得直接经验，当直接经验无法获得时，应该寻求观察的经验作为“替代性经验”以弥补、替代直接经验的不足。

布鲁纳认为：教学过程首先应从直接经验入手（动作表征），然后是经验的映像性表象（表象表征），再过渡到经验的符号性表象（符号表征）。教学提供的数学活动应该尽可能遵从学生“已有经验——到直接经验——再过渡到经验的符号性表象”经验的获得过程。

概括上述几位研究者的观点可以看出，经验的获得需要“领悟”与“转化”:通过参与具体活动（也可以是替代性的视觉观察）直接领悟获得具体经验；然后对所经历的活动通过回顾、反思等内在的思考，内化为能够理解的合乎逻辑的、抽象的经验；最后将获得的经验在解决新问题中进行证实和运用，重新领悟和创造新的经验。经验的积累就是在这样不断循环往复的连续过程中实现经验的创造、领悟与转化。

在小学数学教学中，学生获得经验的最重要途径是参与具体的活动，在具体活动中获得直接经验。但由于教学时间的限制，不可能事事都让学生“亲力亲为”，教师提供的直观可视化的材料，学生对此进行观察、思考也可以获得替代性经验。在实际教学中为学生获得“替代性经验”而设计有意义有价值的数学活动是教师义不容辞的责任，“替代性经验”与“直接性经验”同样重要！这是戴尔的“经验之塔”带给我们的最大收获。

三、深度分析“案例”，提升对数学“基本活动经验”的理解力

对概念的“理解力”是指既知道这个概念的内涵和外延并能运用这个概念解决实际问题。对数学基本活动经验的理解决不能停留在“理性的”定义上，更重要的是在教学实践中如何落实。理性分析重要，即有了对什么是数学活动经验的追问以及如何积累数学活动经验的分析，更需要结合具体的教学案例进行深度分析，由此我们对数学“基本活动经验”的感受就不是那么抽象和难以把握。

广大读者可以对本文提出的两个案例做进一步的分析，我在此不做赘述，只提出两点思考：深度分析案例离不开对学科内容本质与结构的分析、离不开对学生学习数学的思维路径以及困难的分析。

（作者单位：北京教育学院）

004 关于获得数学活动经验的三点认识

▇ 贲友林

数学活动经验是人们在数学活动过程中形成的并在遇到某种相似情景时可以忆起的某种体验、方法性知识或某种观念。数学教学应致力于学生数学活动经验的获得。本文就学生获得数学活动经验谈三点思考。

一、经验在经历中获得

《现代汉语词典》对“经验”是这样解释的：“经验”有两种词性，作为名词，指由实践得来的知识或技能；作为动词，指经历，体验。杜威指出：“教育就是经验的改造或改组。这种改造或改组，既能增加经验的意义，又能提高指导后来经验进程的能力。”这里的经验，包括了经验事物和经验的过程两重意义。由此来看，经验以静态与动态两种状态存在着。

《数学课程标准》（实验稿）就曾指出：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”活动经验，离不开活动，学生的数学活动经验是在参与数学活动过程的基础上获得的。没有经历数学活动，就谈不上获得数学活动经验。数学活动经验是数学活动的过程和结果。也就是说，有经历，不一定有经验，没有经历，一定没有经验。

如，分子相同的分数进行大小比较，分母大的分数反而小。在教学中，学生不是要将这样的结论熟记于胸，而是需要建立在自己经验基础上的理解。学生可能选择画图思考并说明比较大小的活动，而这样的活动选择也是源于以往画图解决问题的经验。如果以往没有经历用图、数轴等表示分数大小的活动，那这里也就缺乏了画图的经验。

再说对具体内容的理解经验的积累过程。在尚未入学的时候，不少孩子就有分东西的经历，他们在分东西的过程中，积累“分”的经验，知道分的份数越多，每一份就越少。当然，这样的经验是一种日常生活经验，还不是数学经验。数学教学，需要把这样的生活经验进行数学改造。在学习除法时，学生一定会经历类似如下的操作活动：12根小棒，平均分成2份、3份、4份、6份；在这样的操作过程中，学生对“分”的经验再积累，对分的结果也积累了经验。在认识分数时，学生有画图表示分数的经验，待到解决上述问题时，学生也就有了可供提升的经验积淀了。综上所述，学生的活动经验也正是在一次又一次经历的活动中积淀、丰富。

常常听到长辈对晚辈的告诫：我吃的盐比你吃的米多，走的桥比你走的路长。我们是否可以从经历的角度理解，因为长辈的经历比晚辈多，所以经验也就比晚辈丰富。“吃一堑，长一智”，这里的“智”包含了经验，因为有了“吃一堑”的经历，也就增长了一份“智”的经验。

二、经历了≠获得了

学生经历或参与了数学活动，并不是就能获得充足的数学活动经验。也就是说，经历了数学活动，未必就获得了数学活动经验。

就不同的个体而言，学生经历数学活动过程，获得数学活动经验是有差异的。学生的数学活动经验是建立在学生参与数学活动的过程和个体的感觉基础之上的，而学生个体之间感悟数学的水平差异较大，因而，学生之间的数学活动经验有较大的差异。就某一数学活动而言，同一个班级的学生都参与其中，有的学生获得的数学活动经验比较清晰，有的则比较模糊；有的学生获得的数学活动经验比较丰富，有的学生则比较单薄。存在着这样的现象，教师因教学进度、教学容量的考虑，当部分动手能力较强、思维较为敏捷的学生比较快地完成了活动内容时，教师也就组织全班学生从该活动“转场”到另一个活动。显然，相当一部分学生只经历了前一个活动的某些片段，也就不能获得较为充分的数学活动经验。所以，在活动过程中，教师要关注每一位学生是否真正参与了数学活动的全过程。这里还要指出的是，数学活动经验虽然是个性化的，但从学生群体的角度来看，数学活动经验是很多学生在经历了同一个数学活动之后形成的，具有一定的共性和普适性。

就经历的过程而言，活动经验的发展具有一定的层级性、规律性。第一次数学活动中获得的是原初经验；第二次遇到相同情境时，经验再现，一般称为再生经验；再次遇到类似情境时，迁移运用先前经验，产生再认性经验；在形式不同、本质一样的新情况下，按照“模式”重复运用这种经验时，这种经验成为概括性经验；概括性经验在多次调用、反思后，内化为经验图式。学生获得数学活动经验的过程，至少需要经历这样几个阶段：原初经验阶段；再生经验阶段；再认经验阶段；概括性经验阶段；再次参与多样化的数学活动，逐渐内化为概括性经验图式阶段。由此来看，经验有时需要在多次类似的数学活动的反复经历中获得。经历了，不等于获得了，这里所说的获得的是指较高层次的概括性的经验图式。

如，学习平行四边形面积计算时，学生通过操作将平行四边形剪、移、拼成长方形，这一过程使学生获得剪、移、拼的经验，感受将陌生的问题转化为熟悉的、将未知的问题转化成已知的过程。不过，这样的经验是非常粗糙的，难以适应新情境中的数学对象，也就是说，在新的数学问题中不能被调用。学习三角形面积计算，学生往往不能凭借自己的经验将求三角形的面积问题化归成已学图形面积的问题，因而教师组织学生通过旋转、平移或剪、拼的操作活动将三角形转化成平行四边形，在此基础上，对活动过程进行反思、总结和交流，概括所获得的经验。学习梯形面积计算，学生经历的情境与三角形面积计算的情境几乎相同，因而学生会把先前在三角形学习的数学活动中获得的经验运用于当下活动中，在“还原”前一活动经验的过程中，学生关于图形转化的方向与方式的经验得到了巩固。在学习圆的面积时，学生的数学活动经验外显，他们有明确的将圆转化成已学图形的倾向。不过，在实际教学中可以发现，很多学生的操作都是将圆沿着4条弦剪去4个弓形，再把4个弓形和剪出的长方形相拼。这恰恰说明了学生的经验还比较单薄，其原因也正是数学活动不够多样化。从数学活动经验的角度看，学生数学活动的过程就是数学活动经验不断上升、不断转化的过程。事实上，学生经历了数学本质一样的、多样化的数学活动，在交流、讨论与反思等活动的作用下，他们的原初经验得以改造和提炼，完成数学活动经验从低层次到高层次的生长。

三、经验，并非总是亲历所得

对数学活动经验的获得，有的老师在认识上存在着一个误区，认为活动经验一定是学生亲历所得。亲历，是获得数学活动经验的重要方式，但不是唯一方式。正如史宁中教授所说：“基本活动经验是指学生亲自或间接经历了活动过程而获得的经验。”这和戴尔“经验之塔”理论是相吻合的。

以笔者20年前在一所农村小学的一段教学经历为例。当时使用的五年级数学教科书中有这样一道题目：有一台播种机，作业宽度 1.8 米。用拖拉机牵引，按每小时6千米计算,每小时可以播种多少平方千米？20年前的农村小学生，没有见过播种机，他们不理解题目中的“作业宽度”，他们觉得“作业”就是指他们平时做的语文作文、数学作业，怎么“作业”还有宽度？这又说明了学生在日常生活中获得的经验也许还是欠准确与精致的，经验是一把“双刃剑”，对学生的学习既有积极的正面作用，也有消极的负面作用。如果今天的数学教学中遇到这个问题，我们可以组织学生去实际观察播种机播种的场景，可以播放一段视频或制作多媒体课件进行演示，从而使问题得以解决。而我，基于当时农村小学的条件，给学生做了这样一个演示：先在黑板上用粉笔涂上一大片，然后手拿黑板揩:“这好比是播种机。黑板上涂的这一大片就是待播种的地。”随即将黑板揩按在黑板上：“开始播种!”黑板揩慢慢地前进，黑板上渐渐地出现了长方形空白。手指空白:“黑板揩的长相当于空白部分的宽度，也就是播种机的‘作业宽度’。”教师在学生的笑声中完成了演示，学生在笑声中理解了“作业宽度”。

由此可见，在教学中，教师要充分整合动手操作、板书演示等各种教学手段，适时运用现代教育技术，给学生提供和创造像“观察性经验”一类的替代性经验，让学生在观察、模仿、想象这些替代性经验中获得类似于亲临其境的实实在在的经历和体验，促进学生获得广泛的丰富的数学活动经验。

（作者单位：南京师范大学附属小学）

005 基本活动经验实践研究的辩证解读

▇ 储冬生

积累基本活动经验，形成比较完整的数学认识过程，构建比较全面的数学现实，对于帮助学生获得良好的数学教育，提升数学素养，具有重要的意义。随着新课标的修订，基本活动经验在课程目标中被进一步明确，地位得到进一步凸显，将其作为数学课堂教学的核心目标予以落实已经成为大家的共识。

如何使得基本活动经验的积累从理念走向行动？我以为，眼界决定境界，思路决定出路！用辩证的眼光来看待这一新话题并平衡和处理好各种关系是我们推进教学改革时应有的思维。本文结合具体案例略谈几点想法，求教于各位同仁。

继承与发展

    案例：面积和面积单位

师：凭你的“感觉”，你觉得 1平方米大概有多大？

……学生自由地发表自己的观点。

师：到底有多大呢？为了研究问题的方便，人们规定了一个 1平方米的模型。（师出示教具： 1平方米的模型）谁能用数学语言来描述一下这个模型？

生：边长为 1米的正方形，面积就是 1平方米。

师生合作测量边长，验证学生的描述。

师：你能从生活中找到 1平方米的影子吗？

学生举例：餐桌的上面、讲台的前面、水磨石地面的一个方格……约 1平方米。

师：下面我们一起来做个游戏，看看 1平方米的地面上大约能站多少个小朋友。

学生争先恐后地参与， 1平方米的地面大约能站15名三年级的小朋友。

师：大家估计一下黑板的面积大约有几平方米？

生： 3平方米左右。

师：他估计的结果对不对呢？

师生合作，用 1平方米的教具量一量，加以验证。

【思考】数学教育目标从“双基”走向“四基”并不能看作是“2+2”的简单叠加，帮助学生积累基本活动经验在我们过去的教学实践中就有很多好的传统，这次数学课程标准修订将其作为核心概念单独提出，意在进一步强化。上例教学面积单位时，先让学生根据自己的生活经验去“猜测”，然后提供模型让学生去估计，去测量验证，到生活中去找它的“影子”，再在游戏中强化，从而逐步加深认识，建立起“1平方米”的正确表象。猜测、估计、测量、游戏这一系列的活动其实就是一个典型的积累基本活动经验的过程，学生在多感官的参与中直觉地建立起“1平方米”的概念。以往的教学中我们一直都是这样做的，只是过去我们并未特意从积累基本活动经验这一视角来考量它、优化它，发掘它特有的价值和意义。因而，在继承中发展是我们开展基本活动经验研究的基本战略。

活动与思维

    案例：游戏规则的公平性

师：大家认为刚才的游戏还是不公平，现在该怎样改变包中的球，才能使游戏变得公平呢？

生：黄球和白球的个数一样多，游戏就公平了。

师：个数一样多，可能性相等，游戏规则就公平了。

教师将包中的黄球和白球调整为同样多。

师：现在黄球和白球的个数一样多了，摸球的结果又可能会是怎样的呢？

生1：两种球摸到的次数应该相等。

生2：两种球摸到的次数应该差不多。

……

师：在规则公平的情况下摸球的结果到底会怎样呢？实践出真知，大家再分小组自己动手试一试。

学生进行摸球游戏，教师巡视，学生汇报。

师：观察各小组的活动记录大家又有什么发现呢？

生：各组的情况也不一样，有的摸到的黄球多一些，有的摸到的白球多一些，也有相等的。

师：为什么会这样呢？

生：公平只是可能性相同，机会均等，摸球的结果并不一定每次都一样多，这还得看“运气”。

师：看来游戏规则公平，只表示双方赢的机会是均等的，即使在规则公平的情况下，游戏的结果仍然是“一切皆有可能”！假如我们把各组的结果都汇总起来又会有什么发现呢？课后有兴趣的同学可以自己去探索。

【思考】数学活动经验有别于日常生活经验，是具有数学目标的学习活动的结果。比如同样是折纸，可能是美学欣赏，可能是技能训练，也可能是数学操作。而作为数学活动的折纸，其目的是学习数学，比如轴对称的概念，图形的运动，图形的不变特征等等。同样，一般的摸球游戏本身并不具备多少数学意义，只有思维的深度介入，才使其具有数学意义。以此观照上述案例，摸球游戏前的预测显得尤为必要，不少学生认为：球的个数相等，游戏规则公平，游戏的结果摸到两种球的个数也应该是相等的。这是学生认识上的一个难点，揭示学生的这种错误认识，正是为了矫正他们的错误，把力气用到紧要处。活动之后对于数据的分析既关注各组数据内部的比较，又提示学生可以从各组数据汇总的角度去分析，这是一种分析方法上的引领和审视视角上的指导，这些对于提升思维含量，使得感性经验上升为理性认识显得尤为重要。倘若没有了前面的预测和后面的分析也许就只剩下“活动”了，没有思维介入的“操作工式”的活动，只能带来缺失了数学意义的“基本活动经验”。

直观与抽象

    案例：平均数

师：一下子说出这几幅图中哪根虚线表示这五位女生玩套圈游戏套中个数的平均水平，的确不容易，我们降低些难度，谁能先说说，哪一幅图肯定是不正确的。

生：图1和图2都是错误的。

师：为什么呢？

生：平均数一定在最大值和最小值之间，不可能大于最大值也不可能小于最小值。

生：图4也是不对，因为根据“移多补少”的规则，比平均数多出部分之和应该等于比平均数少的部分的和。

生：第3幅图是正确的。

师：如果要使得平均数值达到现在的图4虚线所在的位置，我们可以怎么办呢？

生：没有达到的4个人，每个人都增加一些就行了。

师：平均数很敏感，每个数据的变化都会带来平均数的变化。

生：其实也可以只在其中的一个人上面增加，不过要增加得多一些而已。

师：虽然其它数据都比平均数据低一些，但是由于有一个极大数据就可能将整体的平均水平拉上去了。平均数容易受到个别极限数据的影响，这也是我们在使用平均数分析问题时需要注意的。

【思考】积累活动经验总得依赖一些活动，但是所谓活动并不一定都是指直观的操作活动，行为操作的经验是基本活动经验，抽象的思考、探究的经验也是基本活动经验的重要组成部分。这道平均数的巩固练习采用了选择题的构题方式，题面虽简单，但综合性很强，思维含金量足。教学目标十分集中地指向于运用平均数的图示虚线出现的不同位置，引导学生思考平均数的本质属性，从而加深学生对平均数的大小范围、判断依据的直觉把握。不但有所排除，有所确认，还进一步引导学生思考被否认的图4，假设它的平均数合适，应当怎么去调整各个统计量。通过统计图的形象展示，诱导学生对一组统计数据中个别极端值对平均数的影响真切地体会并表达出来。这里没有关于“移多补少”的直观的简单的行为操作，而是借助半抽象的统计图让学生在头脑中去思考，这种抽象思维活动的经验积累也属于基本活动经验的范畴，而且是更高层次的理性的数学活动经验。

生活与数学

    案例：解决问题的策略——转化

师：课前我们又重温了《曹冲称象》的故事，让我们一起思考这样几个问题。第一，曹冲将称“大象”转化成了称“什么”？

生：曹冲将大象转化成了石头。

师：第二，为什么要转化成石头呢？                                   

生：因为大象是一个整体不好分，而石头可以分开来称。

师：第三，故事中有一个重要的细节——在船舷上做了个记号，这是为什么？

生：大象在船上的时候，水面到了那里，后来石块放在船上的时候水面也到了那里，这样石块的重量就和大象的重量差不多一样重。

师：第四，一定得将大象转化成石头吗？

生1：不一定非得转化成石头，换成木头、铁块也都行啊……

生2：我倒觉得转化成人才方便，我们可以要求观看的士兵走到船上去，这样还方便些，省得搬东西。

师：这种转化的策略对于我们的数学学习又有什么启发呢……

【思考】很多日常的生活经验都能为学生积累基本的数学活动经验提供基础。有些老师也关注到了学生的生活经验对于儿童数学学习的价值，但是在实现由生活经验向数学活动经验的提升方面仍然做得不够。用“曹冲称象”的故事引入转化的策略不少老师都用过，但是仅仅指出“曹冲称象”的故事中用到了转化的策略显然还是不够的，这只是关注到了生活经验而已。上面的案例中，老师追问的四个问题，直指转化策略的实质，其实就是在着力引导孩子实现由生活经验向基本活动经验的提升。数学基本活动经验是人们的“数学现实”最贴近生活现实的部分，数学现实就像一座金字塔，从与生活现实密切相关的底层开始，一步步抽象，直至上层的数学现实。学生学习数学，要把握从生活现实上升为数学现实的完整认识过程，即从感性认识上升为理性认识的全过程，这是抽象数学活动的前提和基础。

总的说来，儿童的数学学习是一个系统，在这个系统中，各元素间存在着多种关系、多重联系。我们应该用一种扬弃的眼光来聚焦基本活动经验，植根传统又突破定势，在对教学实践的辩证解读中，开阔视野，拓宽思路，寻求超越。

                     （作者单位：江苏省海安县实验小学）

006 让“活动”带给“经验”生长的力量

▇ 仲海峰

如果说，数学“基本活动经验”是学生在从事有明确的数学目标的活动过程中产生和形成的经验，那么很显然的是，使学生获得基本活动经验的前提和核心是要提供好的活动。苏联著名数学教育家斯托利亚尔认为数学教学就是数学活动的教学，也是数学思维的教学。这是一种将整个数学教学都看成是“数学活动”的“大活动”观、“泛活动”观。从现有的研究来看，数学课程标准修订时所提出的“基本活动经验”中的“活动”，其范围和内涵都有所窄化，借用张天孝先生《关注数学基本活动经验》一文的观点，“主要是对数学材料的具体操作和形象探究活动”。这句话中，“数学材料具体操作活动”并不难理解，而“形象探究活动”，我以为，既包含实物、图形等具体形象，也包含着思维中、想象中的事物，即脑袋瓜中籍以进行思维、想象等活动之“隐形”形象。

有了这样的认识，我们有必要进一步深究：什么样的活动才是好的数学活动？好的数学活动能产生怎样的活动经验呢？如何让我们的数学活动向“好的”方向发展？对这些问题的回答既需要时间，更需要实践。对一些典型案例进行分析，或许能为我们提供思考的路径。

让活动经验触及概念的本质

有这样一则案例，从课改初一直讲到现在。案例记录的是某学生与父亲回忆学校学习的一段对话。

爸爸：儿子，你今天学习了什么？

儿子：学了集合。

爸爸：你听懂了吗？

儿子：懂了！太简单了！

爸爸：老师是怎么讲的。

儿子：老师先让男小朋友站起来，然后告诉我们这些男小朋友就组成了一个集合。接着让所有女小朋友站起来，告诉我们所有的女小朋友也组成了一个集合。最后老师让全班小朋友都站起来，告诉大家全班小朋友也组成了一个集合。

爸爸分别指了指家里的桌子、椅子和一筐土豆问：它们能组成集合吗？

明明：家里所有的桌子组成的是一个集合，所有的椅子组成的也是一个集合，一筐土豆组成的不是一个集合。

爸爸很惊讶问：为什么？

明明：因为桌子椅子是站着的，但土豆不可以站起来。

故事是虚构的，但似乎又“合乎情理”地反映了我们平时教学中某些教学现象。活动在活跃课堂气氛，带给了学生乐趣的同时，也夹杂着一些多余的、甚至有干扰的信息——孩子在一次次的、并非体现集合本质“起立”活动中，产生了“能不能站起来是区分一些元素组成的是不是集合的依据”这个活动经验。强烈的负效经验干扰了学生对集合本质的理解。

经典的例子还有三角形稳定性教学，老师让学生分别拉三角形和平行四边形木架，体验三角形的稳定性和四边形的易变性。热闹的活动、明显的对比，学生学得高兴、印象也很深刻。然而热闹之后再思考，却发现学生“深刻的印象”其实只停留在使劲“拉”上——“拉”不动，就具有稳定性”，“拉”得动，就“不”具稳定性。其实三角形稳定性是指“三角形三条边长度确定，其大小、形状也就确定”。其对应的活动应该是让学生用三根小棒围不同的三角形，从而让学生体验三根小棒围成的三角形，“除了姿势不同外，形状和大小都完全一样”。这样让活动经验明确地指向于“边长确定，大小、形状也就确定”这个本质，有效地避免了理解上的歧义。概念是数学的灵魂，也是学生数学学习的根基。围绕概念本质内涵的活动所产生的活动经验才会带着浓浓的数学味，蕴含着无限的扩展力。

让活动经验触动思维的内核

新课程改革前，我们的课堂教学大都着力于对教材提供方法的模仿与训练，新课程改革要求不仅重视“方法的多样化”，而且重视对多种方法的分析、比较、优化。这种变化的实质是强化对数学思维的培养，提升学生的数学思考自觉。顺应此，数学活动也应该成为数学思维的活动，让活动经验要触动思维的内核。

以六年级“假设策略”一课为例，常见的教学流程：

出示例题：五（1）班的42位同学去划船，他们一共租用了10条船，每只大船能坐5人，每只小船能坐3人，正好每条船都坐满。他们分别租用了几条大船和几条小船？

接着，组织学生先独立思考，再小组讨论、大组交流。

最后，分析比较出最优方法，重点学习：假设全班同学都坐小船，坐船的就有10×3=30人，比实际多出42-30=12人。事实上，每只小船换成大船就会多出2人，共有12÷2=6条小船换成大船，10-6=4条小船。

笔者曾对这节课做过一项调查：超过一半的同学认为，在学过假设法后，如果长时间不接触这类题目，很容易遗忘。究其原因，学生上述学习过程其实只是停留在模仿、训练、机械记忆层面，并未能深入到思维的里层。针对此，我的做法是：

在学生独立思考、小组讨论、大组交流时增加一个让学生在操作中“凑”答案的体验活动（以★为大船，▲为小船）。

学生独立活动后，各学习小组汇报，将所有情况有序展示在黑板上（图略）：

大船只数   10   9     8    7    6   5    4    3    2    1   0

小船只数   0    1     2    3    4   5    6    7    8    9   10

人   数   50   48    46  44   42   40   38   36   34   32  30

接着组织学生带着活动经验比较操作题与例题的联系——两题都要假设大船和小船的只数，求出人数。不同的是，操作题根据假设的人数就可以求出可能的人数，而例题实际人数已经告诉了我们，而且往往与假设的人数不一致，这说明假设的大、小船的只数有问题。这时需要调整：如果求出的人数比实际人数少了，说明要用小船换大船，每换一次相差2人；如果求出的人数比实际人数多了，说明要用大船换小船——这样调整若干次直至人数吻合。

应该说，动手操作“凑”答案，活动虽然有些土气、原始，但充分展开的“凑答案”过程却意蕴十足——从0开始，一组数、一组数有序地“凑”，答案逐渐浮出水面。这种由“无”生“有”、由“虚”渐“实”的“凑”的活动经验，既蕴含着“假设法”中假设的必要性，也揭示了“假设法”中“调整”这个环节的“关门过节”——“1只大船”和“1只小船”替换就会相差2人。由此，我们可以说“假设法”是学生积足了“凑答案”的活动经验之后的“由熟生巧”，而近乎接近学生本能的“凑答案”所产生的体验和形成的思维经验，具有“根基”的作用，即便学生一段时间忘了后，解决问题的路径仍能由根“再生”出来。

让活动经验触摸创造的萌芽

新课程标准在修订时再次突出“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向，东北师大史宁中校长在论及创新能力时指出：“创新能力依赖于三个方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三方面同等重要”。尽管我们很难直接传递创造的经验，但是，数学活动应该为学生提供更多创造的机会，让他们触摸创造的萌芽，积淀更多的具有创造潜质和基质的活动经验。

以“自然数两种分类之间的关系”为例：

自然数按是不是2的倍数，可以分为奇数和偶数；而根据因数的个数，又可以分为0、1、质数、合数。同一数集的两种不同角度的分类，使得奇数、偶数、质数、合数等数之间的关系错综复杂。学生在遇到诸如“所有的奇数都是质数”“所有的质数都是奇数”“所有的合数都是偶数”“所有的偶数都是合数”之类的辨析题时，很是头疼。

对此，我们设计、组织了一次“数形结合——借助操作理解奇、偶数和质、因数之间的关系”的画图辨析关系活动。下图是学生陆杰“创造”的自然数两种分类之间的关系图：

（图略）

【图解】用长方形代表自然数，从中间画一条竖线将自然数分为奇数和偶数两部分。

在奇数中，“1”既不是质数也不是合数——用方框框出来；剩下的数中，一部分是质数，另一部分是合数。

在偶数中，“0”去掉既不是质数也不是合数——用方框框出来；剩下的数中，只有2是质数，其余都是合数。

换个角度看，质数部分，除了2是偶数，其余的都是奇数；再看合数部分既有奇数又有偶数。

应该说，学生创造性地设计直观形象集合图，将知识间千丝万缕的联系浓缩到一张结构图中，既有助于看出知识间的联系，加深知识的理解，也便于知识经验的灵活调用，有助于“活化”经验。当然，最重要的是这种创造性活动中所积累的经验，有如冬天里埋在雪地下的种子，春风吹来时就会生出创造的嫩芽，充满着无限的生机。

当然，数学活动不是“哪里需要贴哪里”的狗皮膏药，也不是“贴哪里，瘦哪里”的灵丹妙药。需不需要实际操作？活动的成本有多大？每一次的活动能否如我们所愿能给学生留下很好的活动经验？这些都是我们帮助学生积累活动经验时应该全面考虑的问题。但无论如何，着力设计短小精悍、彰显数学本质、强化数学思考、追求实践创新的活动给学生留下“最具生长力”的活动经验，是值得我们每一位教师持续关注并积极付诸教学改革的。

                           （作者单位：海安县教育局教研室）

007 帮助学生积累怎样的基本活动经验

——以“分数的认识”教学为例

▇ 仲广群

著名教育家陶行知关于人如何获得知识曾做过一个形象的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机组成部分。”可见，基本活动经验是学生数学学习的必要前提，是其获得数学直觉的源泉。那么对于学生的数学学习而言，什么才是可以用来做“根”的基本活动经验呢？本文试以“分数的教学”为例，阐述我们要帮助学生积累怎样的数学基本活动经验。

一、重观察，重操作，丰富学生的表象，积累体验性经验

有研究表明，就智力和经验对学生概念学习的影响程度来看，经验的作用更大。孩子们的内心世界往往不是按照定义的方式来理解的，他们更多地按照先前眼睛看到的，尔后积累在脑海中的先前经验来给所学的抽象概念加以编码的。丰富的经验背景是学生理解概念的前提，否则将容易导致死记硬背概念的字面定义而不能领会概念的内涵。这里的“经验”，除了从学校学习中获得以外，学生从日常生活中获得的经验也起着非常重要的作用。事实上，学生掌握的数学概念大多是对自身经验经过辨别、分化、抽象、概括以后发展而来的。

学生认识分数远不像当初认识整数时那样来得顺利。这是因为，在学生的已有的活动经验中，来自有关“分数”方面的储备，远不如整数那样多。生活中，学生更多接触到的是可以一个一个地来数的自然数，当“1”需要再分时，人们又更喜欢用小数来表示（如商场里物品的标价等）。由于缺少丰富的表象来支撑，也缺少外显操作活动中来自感觉、知觉的经验，这给学生建立分数的概念带来了不小的困难。

尽管如此，教学还是得从学生所熟悉的感性材料入手，因为概念的形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程，毫无疑问，辨别各种刺激模式，并在知觉水平上进行分析、筛选、辨认，根据事物的外部特征进行概括，是建立正确概念的第一步。既与分数的概念相通，又存在于学生的已有经验之中的，就是学生“均分”物体的经验了。

分蛋糕、分苹果，的确是生活中较好的关于“均分”的模型，因为学生都有过这样的经历。只是生活中人们并不习惯把一个蛋糕平均分成8块后，将其中的一块称为，而更多是称作“一小块”。但这并不妨碍学生对分数产生的感知，因为学生从分苹果、分蛋糕中，已经完成了初级阶段的抽象，即学生能够明白，以前经验中最小的“1”还是可以继续分下去的，这样分得的结果我们就得用新的数来表示了。这就把新的认知起点与旧有的经验联系起来了。相比之下，有的教材从“折纸”切入，学生便不能从操作中感受到“分”的必要性，由此引入分数多少显得牵强和生硬，这是对学生经验缺少深入细致的考察所导致的。

概念的抽象往往不是一次性完成的，分数概念的建立也不例外。我们可以从皮亚杰等人的研究成果中得到启发：“4-4岁半的儿童能把小的正规图形分成两半；6-7岁的儿童能把小的正规图形分成三份；7-9岁的儿童能把小的正规图形通过试错分成六份。”皮亚杰等人的研究成果告诉我们，学生通过面积的模型来认识分数比较容易。依此，组织折纸、填图等操作性活动，可以引导学生向更高一层的抽象发展，亦即线段、长方形、圆……，以致一个整块的物体，都也可以像分苹果、分蛋糕那样均分下去，在这方面它们具有共同的属性，这就是所谓的“二阶抽象”。

较之于“连续量模型”，学生对于“离散量模型”的理解，似乎来得更为困难。因为对学生而言，这是更高一层次的“三阶抽象”。把多个物体看做一个整体进行均分，在学生的已有活动经验中储备不多，加之整体“1”的类型并不像想象的那么简单，例如，形成分数至少关涉到以下几种不同的类型：⑴数量刚好为5个；⑵数量在5个以上并被分成了5等份；⑶数量比5多但不能被5整除；⑷数量比1多但比5少。

日常生活并不能为学生提供这些经过高度结构化处理的素材，只有教学这一专业活动才凸显这一功能，这是教师“浓缩”了前人探索的结果，使得素材本身更具“数学味儿”，它可以避免学生走太多的弯路，耗费太多的时间。

“几乎所有的人不仅在思维过程中避免使用语言，甚至还避免使用代数符号或任何其他的固定符号，总是运用模糊的表象进行思考。”很显然，学生建立分数的概念必须先积累大量的感官经验、操作经验，且这些体验性经验又具有某些相似性、共通性，然后经由多个层次的“抽象”这一心智活动才得以完成。而若不能以丰富的表象做支撑，概念的建立就成为无源之水、无本之木。

  二、重探究，重思考，优化学生的策略，积累方法性经验

这里的“探究”指的是融行为操作与思维操作于一体的活动。对于行为操作和思维操作，我们不妨用“操作地思考”和“思考地操作”来界定两者的区别。行为操作的价值取向是问题解决，而不是仅仅为了获取第一手的直接感受、体验和经验，但是，探索所获得的经验一般是直接经验，我们称之为“操作地思考”；思维操作指的是在思维过程中开展活动而获得的经验，即，思维操作经验，比如，归纳的经验、类比的经验、证明的经验。思考的经验不仅可以产生于逻辑地思考的过程，也可以产生于归纳地思考的过程，甚至产生于某些实验过程之中，我们称之为“思考地操作”。显然，前者侧重于直接经验的获得，而后者侧重于间接经验的获得。

学生对“均分”后产生分数有了初步的感知，就可以安排一些带有思维性质的操作性活动，如：通过引导学生进行折纸和画图等活动，想想和哪个大？用涂色的方法说明和哪个大？这样的活动，既有外显操作的行为，也伴随着内隐的思维参与，但更侧重于的是操作本身，让学生从图像中直观地感悟分数的大小，获取的直接经验占据主要的成分。

显然，不同的呈现方式，对学生的思维的要求是有区别的，即便是分桃子，将一只桃子进行均分，与将一大一小两只桃子进行均分，对学生的思维挑战就不在一个层面上。

（图略）

如上图，学生当然可以通过“操作地思考”，寻求到解决问题的答案。但是，更适宜的方法却是进行“思考地操作”，亦即，这一操作的过程可以在脑中完成，然后只要通过实验去验证一下就可以了，其思考的依据是，两个部分量的相加，应该等于整个量的。再如：小明看了一本书的，小红看了一本书的，他们俩谁看得页数多？一个图形的是□，原来的图形是怎样的？事实上，解决这两个问题，学生如果先行实验，或许会对寻求问题的正解产生误导。比如学生用一样大小的纸做实验模型，结果只能发现小明看的页数多。同样，学生处理第二个问题时，画成       ，也会影响其对离散图形的进一步思考。不难分析，对实验之前的先行思考，即“思考地操作”恰恰反映了学生对概念的本质的认知水平，因为这种先行的思考，带有很强的策略意味儿，是学生多次开展类似的开放性活动后形成的心理敏感机制，属于典型的个体知识。应该说，这种方法性活动经验对学生的学习而言，显得尤为重要，它是将学生的数学学习上升到“数学思想”境界的必要桥梁。

三、重概括、重反思，增进学生的内隐能力，积累“数学地思考”的经验

概括是形成和掌握概念的直接前提。如果没有概括，学生就不可能掌握概念，从而由概念所引申的定义、定理、法则、公式等就无法被学生所掌握；没有概括，就无法进行逻辑推理，思维的深刻性和批判性就无从谈起；没有概括，就不可能产生灵活的迁移，思维的灵活性和创造性就无法形成；没有概括，就无法实现思维的“缩减”与“浓缩”，思维的敏捷性也就无从体现，学生掌握概念，直接受思维概括水平的制约。从前面的分析可以看出，学生掌握分数的概念，大致要经历几个不同的阶段：

首先，对已有生活经验和教师呈现的具体事例的各种属性进行分化，在经过分析、综合、比较而抽象出共同的、本质的属性或特征，然后再概括起来。

其次，再进行类化，把概括而得的本质属性推广到同类事物中去，这既是一个概念的运用过程，又是一个在高层次上的抽象概括过程。

最后，把新获得的概念纳入到概念系统中去，即要建立起新概念与已有的相关概念之间的联系，这是概括的高级阶段。

因此，教师应该把学生对具体例证进行分化和类化当成概念教学的重要环节，使学生掌握分化和类化的基本技巧，从而逐步学会自己分析材料、比较属性，并概括出关键属性，以逐步培养概括能力。学生概括能力的强弱，带有很强的个性特征，是学生的一种内隐能力。教学无法也不必让所有的学生达到一致的水平。但是，通过传授相关的策略，特别是，引导学生通过适当的反思，可以帮助学生在原有的基础得到适当的提高。为此，教师要帮助学生反思他们自己在学习活动中的缄默知识，使他们学会不断地从自己显性的观点和想法中分析自己所使用的那些缄默的认识模式，从而不断地提高他们元认知的水平，提高对自己的学习行为进行自我分析和自我管理的能力。

引导学生进行反思，不仅是课堂教学的一个重要环节，也是帮助学生积累基本活动经验的一个重要渠道。如果学生在获得数学概念后就此终止，不对获得概念的过程进行回顾和反思，那么数学活动就有可能停留在经验水平上，事倍功半。如果学生在抽象出概念后能对思路进行检验和自我评价，探索成功的经验或失败的教训，那么学生的思维就会在更高的层次上进行再概括，从而可以对概念的认识上升到理性水平，长此以往，学生便学会了“数学地思考”，使自己的思维变得条理化、清晰化、精确化、概括化，而这，便促进了数学素养的形成。

从概念本身的教学来看，我们固然希望学生的已有经验既要有我们想象的相似性、共通性，又不要有太多与概念无关的干扰。但是，学生的活动经验相当部分来自于日常的生活，而生活经验的提供途径和方式并不遵守学校教育的法则，所以学生所获取的经验成分中，带有相当程度的模糊性、片面性，甚至有不少的错误藏匿其中。学生由整数加法的经验迁移而产生“+=”的想法，便是较好的例证。教学的任务就在：对学生既有的经验进行筛选、整理、优化和提升，实现经验的改造或重新改组，以帮助学生生成新的经验，促进学生的经验上升到更高水平，让模糊的变得清晰起来，让片面的变得完善起来，让错误的变得正确起来。让零散的变得结构化起来，而这，就是基于了学生的基本活动经验，引领学生经历的“数学化”过程。这是基本活动经验培养的高级境界。

（作者单位：南京市石鼓路小学）

班级            姓名            学号           成绩         

一、填空

（1）30的因数有（                  ）；42的因数有（                  ）；

    30和42的公因数有（            ）；30和42的最大公因数是（      ）。

（2）在下列圈里填上50以内合适的数，再写出8和12的最小公倍数。

8和12的最小公倍

数是（        ）。

（3） 和 两个分母的最小公倍数是（      ）； 中分子、分母的最大公因数是（      ）。

（4）学校组织一次环保知识竞赛，请仔细观察三位选手的参赛证号码及所代表的信息，把表格填写完整。

（5）5和30的最大公因数是（       ）； 8和9的最大公因数是（       ）； 14和21的最大公因数是（        ）； 12和18的最大公因数是（      ）。

9和12的最小公倍数是（       ）；10和4的最小公倍数是（       ）；

33和11的最小公倍数是（        ）； 18和24的最小公倍数是（       ）。（6）一堆煤，如果每次运6吨，刚好可以运完，如果每次运8吨，也可以刚好运完。这堆‘、’；》“；煤至少有（  ）吨。。

（7）3个连续自然数的和是72，这3个数分别是（                    ）。

（8）下面是华南小学集合时各班在礼堂里的位置图。

                第1列         第2列        第3列        第4列         第5列

如果王小强所在班的数对是（χ，3），那么王小强所在的班可能是：

                                                               。

（9）如右图，仪器架分成3层，每一层存放的药水

同样多。请仔细看图，试着回答下面的问题：

① 1个 存放的药水=（　　）个 存放的药水。

② 1个 存放的药水=（　　）个 存放的药水。

二、解方程

χ－3＝5.47                       0.09χ＝5.4 

χ＋9.3＝18.1                      χ÷1.4＝0.5

三、判断（对的打“√”错的打“×”）

1．   1是所有自然数的公因数。……………………………… （      ）

2．等式两边同时乘一个数，所得结果仍然是等式。……………（      ）

3．相邻两个自然数的公因数不止一个。…………………………（      ）

4．某人骑自行车a小时行驶了b千米，每小时行驶a÷b千米。（      ）

5．两个数的积一定是这两个数的公倍数。………………………（      ）

    6．点A用数对表示是(3,4)，如果先向右平移2格，再向后平移1格，那么A现在的位置在( 5，5 )。………………………………………………  （     ）

四、选择（将正确答案的序号填在括号里））

1．在平面图上，点A和点B（6，2）在同一行，与点C（2，7）在同一列，A的位置是（     ）。

①（2，7）     ②（2，2）    ③（6，2）    ④（6，7）

2．三个连续奇数的和是45，其中最大的一个数是(      )

          ①14           ②15          ③16          ④17

3．a＋2＝b＋3，那么a（    ）b。 

①大于         ②小于        ③等于        ④无法确定

4．李家客厅长4.8米，宽4.2米，选用边长(     )分米的方砖铺地不需要切割。

     ①  4          ②  5          ③  6        ④  8

5．24和36的公因数有（    ）个。

①  4          ②  5          ③  6        ④  7

五、操作

（1）标出点A（1，4）、

B（5，4）、C（6，6）、D（2，6），并顺次连接A、B、C、D、A。围成的图形是            形。

（2）将所围的图形绕B点顺时针旋转90⁰，再用数对表示新图形四个顶点的位置。

六、解决问题（第1、2两题列方程解答。）

1．一件羽绒服优惠120元后卖284元，这件羽绒服原价多少元？

2．商店原有524千克白砂糖，卖了三天后还剩68千克，这三天平均每天卖多少千克？

3．小华和小林都去参加英语培训，小华每6天去一次，小林每8天去一次，7月15日两人同时参加了培训后，几月几日他们又再次相遇？

4．一张长方形纸，长24厘米，宽18厘米，要把它正好分成若干个小正方形，最少剪多少个？

5．同学们做了36朵黄花和60朵红花。把这些花分给相同的若干束，要求每束里的黄花朵数一样多，每束里的红花朵数也一样多。想一想，最多可以分成几束？每束里有黄花和红花各多少朵？

6．张老师把35枝铅笔和40本练习本分别平均奖给若干个三好学生，结果练习本差2本，铅笔正好。你知道三好学生最多有几人？

班级        学号       姓名        成绩     

【亲爱的同学,经过半学期的学习你一定掌握了许多知识和本领，这儿老师为你提供了一个展示自我的舞台，相信你一定能发挥出自己最好的水平!祝你成功！】

一、认真读题，谨慎填空。(20分）

 1、6÷（    ）= =（    ）：12= 七成五=（     ）%

 2、一台电视机按原价打九折出售，就是把电视机让利（          ）销售。

 3、李华买了一辆4700元的摩托车。按规定，买摩托车要缴纳10%的车辆购置税。他买这辆摩托车一共要花（    ）元钱。

12cm

图形A

4cm

图形B

 4、一个圆柱和一个圆锥等底等高，体积相差20立方分米，圆锥的体积是（　　　　）立方分米。

 5、①右图中，图形A按（   ）∶(    ）的比例

缩小后可以得到图形B。

②图形A与图形B的面积比是（    ）∶(     ）

 6、根据“实际用水比计划节约15%”这句话，把下面的数量关系式补充完整。

                   ×15%=                  

                   ○         =实际用水的吨数

 7、16的因数有（             ），选择其中四个组成比例是（              ）。

 8、右图中是某地8路公共汽车的行驶路线图。

8路公共汽车从公园出发，向（      ）

行（      ）千米到达中心广场，再

向（     ）偏（      ）55⁰的

方向行（     ）千米到达医院。

 9、在一个比例中，如果两个内项是互为倒数，一个外项是1.5，另一个外项是（     ）。

 10、把一个圆柱体沿直径平均分成两份，表面积增加了36平方分米，圆柱的高是6分米，体积是（      ）立方分米。

二、反复比较，慎重选择。（把正确答案的序号填在括号里） （10分）

   1、用一块长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形铁皮，配上下面（    ）圆     形铁片正好可以做成圆柱形容器。(单位；厘米)

   A、                B、           C、           D、

     r=1                 d=3

                                         r=4              d=5

  2、下面（   ）能与 ∶4组成比例。

A、5∶4    B、20∶1     C、1：20    D、5∶

  3、如图，下面（     ）圆柱的体积与圆锥体积相等。

  4、把含盐10%的盐水改制成含盐20%的盐水，可采用（     ）方法。

     A、加盐     B、加水      C、提取盐     D、蒸发水

  5、一个圆柱体杯中盛满15升水，把一个与它等底等高的铁圆锥倒放入水中，杯中还有（      ）水。

A、5升         B、7.5升     C、10升    D、9升

三、仔细推敲，认真判断。（对的打√，错的打×）（10分）

 1、在一幅地图上，图上距离4厘米表示实际距离200米，这幅地图的比例尺为

    1∶50。                                                （   ）

 2、一种彩票的中奖率是1%，少杰买100张这种彩票，他一定能中奖。（   ）

 3、圆柱的底面积缩小4倍，高扩大2倍，它的体积就缩小2倍。  （     ）

 4、 一件上衣，先降价10%，后来又提价10%。这件上衣的价钱没有变化。（   ）

 5、如果5M=4N，那么，M∶N=4∶5。                        （    ）

四、分析数据，合理计算。（20分）

   1、直接写出得数。（8分）

       ＋=       1＋95%=        35÷42=          50%－ = 

       16×3.14=      ×=       16÷20%=         ∶ =

2、求未知数χ。（12分）

   ∶ =χ∶        40∶χ=0.75∶      χ－35%χ=5.2

五、动手操作，心灵手巧。（8分）

1、选一选，画一画。学校的操场长150米，宽60米，请你选择合适的比例尺在下面的空白处画出操场的平面图。（请你先选择比例尺，求出图上的长宽厘米数再画图）

A、1：1000            B、1：3000            C、1：10000

选择比例尺      。

2、画一画，算一算。画一个底面直径是2厘米、高3厘米的圆柱体的表面展开图（要在图上标明数据），再求出表面积。

六、活用知识，解决问题。（32分）

1、实验小学四月份比三月份节约用水40吨，已知四月份用水量是三月份的80%。四月份用水多少吨？（5分）

2、时代超级购物中心“五一”期间所有商品都按八五折出售。一部摄像机原价5000元，一盒录像带原价30元。张叔叔带了4500元想买一部摄像机和10盒录像带，他带的钱够吗？（5分）

3、将一个三角形的小旗绕旗杆旋转一周，可以形成一个形体。这个形体的体积是多少立方厘米？（单位：厘米）（5分）

                                                                   8

                                                                         6

4、下面是王大伯的一张存单。如果到期按5%缴纳利息税后，一共可以取回多少元？ （5分）

5、在标有                         的地图上，量得甲、乙两地相距9厘米。一列客车与一列货车从甲、乙两地同时相向而行，4小时后相遇，已知客车与货车的速度比是5∶4，求客车的速度。  （6分）         

6、一个圆柱形容器里面盛有 的水，恰好是120毫升，若把这个圆柱形容器里面的水倒入一个与它等底等高的圆锥形容器里面，可能溢出水多少毫升？（6分）